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16.顶点在原点,焦点在x轴的抛物线截直线y=-2x-1所得的弦长|AB|=5$\sqrt{3}$,求抛物线的方程.

分析 设抛物线方程为y2=2px(p≠0),将直线方程y=-2x-1代入,并整理,利用韦达定理,结合弦长公式,即可求抛物线的方程.

解答 解:设抛物线方程为y2=2px(p≠0),
将直线方程y=-2x-1代入,并整理得4x2+(4-2p)x+1=0.
设方程的两个根为x1,x2,则根据韦达定理有x1+x2=$\frac{p-2}{2}$,x1x2=$\frac{1}{4}$.
由弦长公式,得|AB|2=75=[1+(-2)2][(x1+x22-4x1x2],
即15=($\frac{p-2}{2}$)2-1.
整理得p2-4p-60=0,
解得p=10,或p=-6,
故所求的抛物线方程为y2=20x,或y2=-12x

点评 本题考查抛物线的标准方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的弦长计算,属于中档题.

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