Question

已知函数f（x）=

mx

x2+n

（m，n∈R）在x=1处取到极值2
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=ax-lnx．若对任意的x1∈[

1

2

，2]，总存在唯一的x2∈[

1

e2

，

1

e

]，使得g（x₂）=f（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知中，函数f(x)=

mx

x2+n

(m，n∈R)，易求出导函数的解析式，再由函数在x=1处取到极值2，其导函数在x=1处等0，易构造一个关于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f（X）的单调性，由此易判断f（x）在区间[

1

2

，2]上的值域，由对任意的x1∈[

1

2

，2]，总存在唯一的x2∈[

1

e2

，

1

e

]，使得g（x₂）=f（x₁），及函数g（x）=ax-lnx．我们分别对a值与e及e²的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

m(x2+n)-2mx2

(x2+n)2

=

m(n-x2)

(x2+n)2

f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即

mn-m (1+n)2 =0 m 1+n =2

，
解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故f(x)=

4x

x2+1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=

4(1-x)(1+x)

(x2+1)2

，故f（x）在(

1

2

，1)上单调递增，在（1，2）上单调递减，由f(1)=2，f(2)=f(

1

2

)=

8

5

，故f（x）的值域为[

8

5

，2]
依题意g′(x)=a-

1

x

=

a(x- 1 a )

x

，记M=[

1

e2

，

1

e

]，∵x∈M∴e≤

1

x

≤e2
（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由

g( 1 e )≤ 8 5 g( 1 e2 )≥2

得0≤a≤

3

5

e，
故此时0≤a≤

3

5

e
（ⅱ）当e＜a≤e²时，

1

e

＞

1

a

＞

1

e2

当x∈(

1

e2

，

1

a

)时，g′（x）＜0，当x∈(

1

a

，

1

e

)时，g′（x）＞0．依题意由g(

1

a

)≤

8

5

，得1-ln

1

a

≤

8

5

，即a≤e

3

5

．与a＞e矛盾
（ⅲ）当a＞e²时，

1

a

＜

1

e2

，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得

a＞e2 g( 1 e )≥2 g( 1 e2 ≤ 8 5

即

a＞e2 a e +1≥2 a e2 +2≤ 8 5

此不等式组无解综上，所求a取值范围为0＜a≤

3

5

e

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，函数在某点取得极值的条件，其中根据已知条件构造关于m的方程，进而求出函数f（x）的解析式是解答的关键．