Question

关于函数f（x）=sin（2x+

π

6

），有如下结论：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②函数y=f（x）的图象关于点（

π

6

，0）成中心对称；
③函数y=f（x+t）为偶函数的一个充分不必要条件是t=

π

6

；
④把函数y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位后，再把图象上各点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），便得到y=f（x）的图象．
其中正确的结论有

①③④

．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析：根据正弦函数的周期计算公式得①正确．
根据点（

π

6

，0）不是函数图象与x轴的交点，故函数图象不关于点（

π

6

，0）对称，故②不正确．
根据正弦函数的周期性，得函数y=f（x+t）为偶函数的一个充分必要条件，得③正确．
由于函数y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位后，而得到y=sin（x+

π

6

），再把图象上各点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），便得到 y=sin（2x+

π

6

），故④正确．

解答：解：对于①，由周期计算公式T=

2π

W

=

2π

2

=π，得函数f（x）的最小正周期为π．正确；
对于②，因为当x=

π

6

时，函数f（x）=sin（2x+

π

6

）=1，故函数图象关于点（

π

6

，0）对称，故②不正确．
对于③函数y=f（x+t）=sin（2x+2t+

π

6

）为偶函数的一个充分必要条件是2t+

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z，
即t=

π

6

+kπ，k∈Z，特别地当k=0时，t=

π

6

，
故函数y=f（x+t）为偶函数的一个充分不必要条件是t=

π

6

；正确；
对于④，由于函数y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位后，而得到y=sin（x+

π

6

），再把图象上各点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），便得到 y=sin（2x+

π

6

），故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查正弦函数的对称性，以及y=Asin（ωx+∅）图象的变换，掌握y=Asin（ωx+∅）图象和性质是解题的关键．