Question

Rt△ABC的斜边在平面α内，直角顶点C是α外一点，AC、BC与α所成角分别为30°和45°．则平面ABC与α所成锐角为

60°

．

Answer 1

分析：过点C做CD垂直平面a，CE垂直AB，连接AD，BD，CE，DE，说明平面ABC和平面a所成二面角为∠CED，根据AC、BC与α所成角分别为30°和45°求出AC，BC，结合直角三角形两直角边之积等于斜边与斜边上高，求出CE，然后求出平面ABC与α所成锐角．

解答：解：过点C做CD垂直平面α，CE垂直AB，连接AD，BD，CE，DE
设CD=h，如图所示：
∴平面ABC和平面α所成二面角为∠CED，
∵AC、BC与α所成角分别为30°和45°，
易得∠CED=60°，∠CAD=45°
则AC=2h，BC=

2

h，
Rt△ABC的斜边在平面α内，∴AB=

6

h
∵BC•AC=AB•CE得：
CE=

2h× 2 h

6 h

=

2 3

3

h，
故sin∠CED=

h

2 3 3 h

=

3

2

．
故平面ABC与α所成锐角为∠CED=60°．
故答案为：60°．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中求出CE解答本题的关键．考查计算能力，转化思想．