Question

4．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，下顶点和上顶点分别为B₁，B₂，以B₁为圆心，B₁B₂为半径的圆恰好经过点F且与直线3x-4y+6=0相切，
（1）求椭圆C的方程．；
（2）直线l₁：x=m（|m|＜a且m≠0）交椭圆C于D，E两点，点P是椭圆上异于D，E的任意一点，直线DP，EP分别交定直线l₂：x=$\frac{{a}^{2}}{m}$于Q，R两点，求证：$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{OR}$＞4．

Answer 1

分析 （1）利用点T为以B₁为圆心、B₁B₂为半径的圆与直线3x-4y+6=0的切点可知TB₁=FB₁=B₁B₂，通过计算即得结论；
（2）通过设P（x₀，y₀）、D（m，-n）、E（m，n），利用（1）可知l₂：x=$\frac{4}{m}$、${{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}$-4=0、m²+4n²-4=0，通过在直线EP方程y-n=$\frac{n-{y}_{0}}{m-{x}_{0}}$（x-m）中令x=0可知y_Q=$\frac{（{m}^{2}-4）{y}_{0}+（4-m{x}_{0}）n}{m（m-{x}_{0}）}$，同理可得y_R=$\frac{（{m}^{2}-4）{y}_{0}-（4-m{x}_{0}）n}{m（m-{x}_{0}）}$，通过计算、化简可知y_Q•y_R=$\frac{{m}^{2}-4}{{m}^{2}}$，进而利用向量的数量积的坐标运算计算即得结论．

解答 （1）解：依题意，F（$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，0），B₁（0，-b），
点T为以B₁为圆心、B₁B₂为半径的圆与直线3x-4y+6=0的切点，
∴TB₁=FB₁=B₁B₂，即$\frac{|0+4b+6|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=$\sqrt{{（a}^{2}-{b}^{2}）+{b}^{2}}$=2b，
解得：a²=4，b²=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）证明：设P（x₀，y₀），D（m，-n），E（m，n），
由（1）可知l₂：x=$\frac{4}{m}$，${{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}$-4=0，m²+4n²-4=0，
则直线EP方程为：y-n=$\frac{n-{y}_{0}}{m-{x}_{0}}$（x-m），
∴y_Q=$\frac{（{m}^{2}-4）{y}_{0}+（4-m{x}_{0}）n}{m（m-{x}_{0}）}$，
同理可得y_R=$\frac{（{m}^{2}-4）{y}_{0}-（4-m{x}_{0}）n}{m（m-{x}_{0}）}$，

∴y_Q•y_R=$\frac{（{m}^{2}-4）{y}_{0}+（4-m{x}_{0}）n}{m（m-{x}_{0}）}$•$\frac{（{m}^{2}-4）{y}_{0}-（4-m{x}_{0}）n}{m（m-{x}_{0}）}$
=$\frac{（{m}^{2}-4）^{2}{{y}_{0}}^{2}-（{4-m{x}_{0}）}^{2}{n}^{2}}{{m}^{2}（m-{x}_{0}）^{2}}$
=$\frac{（{m}^{2}-4）^{2}（1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}）+（4-m{x}_{0}）^{2}（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）}{{m}^{2}（m-{x}_{0}）^{2}}$
=$\frac{（{m}^{2}-4）（m-{x}_{0}）^{2}}{{m}^{2}（m-{x}_{0}）^{2}}$
=$\frac{{m}^{2}-4}{{m}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{OR}$=（$\frac{4}{m}$，y_Q）•（$\frac{4}{m}$，y_R）
=$\frac{16}{{m}^{2}}$+y_Q•y_R
=$\frac{16}{{m}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-4}{{m}^{2}}$
=1+$\frac{12}{{m}^{2}}$，
∵|m|＜2且m≠0，
∴0＜m²＜4，$\frac{12}{{m}^{2}}$＞3，
∴$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{OR}$＞4．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查数形结合思想，考查学生的运算能力、分析问题解决问题的能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．