Question

【题目】定义在R上的函数y=f（x），恒有f（x）=f（2﹣x）成立，且f′（x）（x﹣1）＞0，对任意的x1＜x2 ， 则f（x1）＜f（x2）成立的充要条件是（ ）
A.x2＞x1≥1
B.x1+x2＞2
C.x1+x2≤2
D.x2

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由f（x）=f（2﹣x），得函数关于x=1对称．由f'（x）（x﹣1）＞0得，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，

①若x1＜x2，当1≤x1，函数为增函数，满足对任意的x1＜x2，f（x1）＜f（x2），此时x1+x2＞2，

②若x1＜1，

∵函数f（x）关于x=1对称，则f（x1）=f（2﹣x1），则2﹣x1＞1，

则由f（2﹣x1）=f（x1）＜f（x2），此时2﹣x1＜x2，即x1+x2＞2，

即对任意的x1＜x2，f（x1）＜f（x2）得x1+x2＞2，反之也成立，

即对任意的x1＜x2，f（x1）＜f（x2）是x1+x2＞2的充要条件，

所以答案是：B

【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．