Question

已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|2≤x≤4}
（1）请定义一种新的集合运算△，使A△B={x|1＜x＜2}；
（2）按（1）定义的运算，分别求出集合A△（A△B）和B△（B△A）．
（3）你可以得到怎样的结论，请用如右文氏图解释你的结论．

Answer 1

分析：（1）直接根据集合{x|1＜x＜2}中的元素的特点可知A△B中的元素都在A中但不在B中；即可得到定义；
（2）直接根据上述定义解题即可得到结论；
（3）根据定义求出的第二问的结果可以直接得到A△（A△B）=B△（B△A）；再结合图形即可得到答案．

解答：解：（1）∵A={x|1＜x＜3}，B={x|2≤x≤4}要使A△B={x|1＜x＜2}，
由图可知A△B中的元素都在A中但不在B中，∴定义A△B={x|x∈A且x∉B}．
（2）由（1）可知B△A={x|x∈B且x∉A}={x|3≤x≤4}．
A△（A△B）={x|x∈A且x∉（A△B）}={x|2≤x＜3}．
B△（B△A）={x|x∈B且x∉（B△A）}={x|2≤x＜3}．
（3）猜想结论：A△（A△B）=B△（B△A）
根据右图作如下解释：A△B为图中阴影部分所以A△（A△B）=A∩B
同理B△（B△A）=A∩B，
∴A△（A△B）=B△（B△A）

点评：本题主要在新定义下考查Venn图表达集合的关系及运算．解决本题的关键在于得到新定义．