Question

9．等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，已知a₃+a₆=16，S₉-S₄=65．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设log₂b_n=a_n，求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列{a_n}的公差为d，联立a₃+a₆=16即2a₁+7d=16与S₉-S₄=65即a₁+6d=13，计算即得结论；
（2）通过log₂b_n=a_n、a_n=2n-1可知b_n=2^2n-1，进而利用等比数列、等差数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₃+a₆=16，
∴2a₁+7d=16，
又∵S₉-S₄=65，即5a₇=65，
∴a₁+6d=13，
∴a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1；
（2）∵log₂b_n=a_n，a_n=2n-1，
∴b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2^2n-1，
∴T_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=[1+3+5+…+（2n-1）]+（2+2³+…+2^2n-1）
=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{2n}）}{1-{2}^{2}}$
=n²+$\frac{{2}^{2n+1}}{3}$-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．