Question

下列关于实数x的不等关系中，恒成立的是（　　）

• A．|x-1|-|x+2|≤3
• B．x+

  1

  x

  ≥2
• C．

  x

  +

  1-x

  ≤1
• D．x²+1＞2x

Answer 1

分析：|x-1|-|x+2|≤3，的解集是R故A恒成立；x+

1

x

≥2的前提条件是x＞0，当x≤0时，B不成立；当x=

1

2

时，

x

+

1-x

=

2

＞1，故

x

+

1-x

≤1不恒立；当x=1时，x²+1=2x，故x²+1＞2x不恒成立．

解答：解：在A中，|x-1|-|x+2|≤3，
由x-1=0，得x=1；由x+2=0，得x=-2．
①当x≥1时，x-1-x-2=-3≤3，成立，
∴x≥1；
②当-2≤x＜1时，1-x-x-2=-1≤3，成立，
∴-2≤x＜1；
③当x＜-2时，1-x+x+2=3≤3，成立，
∴x＜-2．
综上所述，x∈R．
故A恒成立；
在B中，x+

1

x

≥2的前提条件是x＞0，
当x≤0时，B不成立；
在C中，当x=

1

2

时，

x

+

1-x

=

2

＞1，
故

x

+

1-x

≤1不恒立；
在D中，当x=1时，x²+1=2x，
故x²+1＞2x不恒成立．
故选A．

点评：本题考查函数的恒成立问题，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．