Question

【题目】定义区间、、、的长度均为，已知不等式的解集为.

（1）求的长度；

（2）函数（，）的定义域与值域都是（），求区间的最大长度；

（3）关于的不等式的解集为，若的长度为6，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

解不等式得其解集即得区间长度.(2) 由题意求出f（x）的定义域并化简解析式，判断出

区间的范围和f（x）的单调性，由题意列出方程组，转化为m，n是方程f（x）的同号的相

异实数根，利用韦达定理表示出mn和m+n，由判别式大于零求出a 的范围，表示出n﹣m

利用配方法化简后，由二次函数的性质求出最大值和a的值．(3)先求出A∩B（0，6），再

转化为不等式组，当x∈（0，6）时恒成立. 分析两个恒成立问题即得t

的取值范围.

解不等式得其解为-1≤x＜6，所以解集A区间长度为6-(-1)=7.

(2) 由题意得，函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，

∵[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]（﹣∞，0）或（0，+∞）．

∵f（x）=在[m，n]上是增函数，

∴由条件得，则m，n是方程f（x）=x的同号相异的实数根，

即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．

∴mn=，m+n==，

则△=（a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3．

∴n﹣m===

=，

∴n﹣m的最大值为，此时，解得a=3.

即在区间[m，n]的最大长度为．

(3) 因为x>0,A=[-1,6），的长度为6，所以A∩B（0，6）.

不等式log2x+log2（tx+3t）＜2等价于

又A∩B（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组，

当x∈（0，6）时恒成立.

当x∈（0，6）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0

当x∈（0，6）时，不等式tx2+3tx﹣4＜0恒成立，即恒成立

当x∈（0，6）时，的取值范围为，所以实数

综上所述，t的取值范围为