Question

已知圆C：x²+y²-6x-8y+21=0，直线l过定点A（1，0）．
（1）求圆心C的坐标和圆的半径r；
（2）若l与圆C相切，求l的方程；
（3）若l与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ面积的最大值，并求此时l的直线方程．

Answer 1

分析：（1）将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r即可；
（2）设直线l方程为y=k（x-1），根据直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式求出k的值，即可确定出直线l的方程；
（3）设直线l方程为y=k（k-1），利用三角形的面积公式表示出三角形CPQ的面积，根据三角形CPQ面积最大时，sinC最大为1，得到C为直角，即三角形CPQ为等腰直角三角形时面积最大，由半径得到|CP|与|CQ|的长，利用勾股定理求出|PQ|的长，进而求出圆心C到直线l的距离，利用点到直线的距离公式求出k的值，即可确定出直线l的方程．

解答：解：（1）将圆的方程化为标准方程得：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴圆心C（3，4），半径r=2；
（2）当直线l斜率不存在时，直线x=1满足题意；
当斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
根据题意得：圆心C到直线l的距离d=r，即

|3k-4-k|

k2+1

=2，
解得：k=

3

4

，
此时直线l方程为3x-4y-3=0，
综上，直线l方程为x=1或3x-4y-3=0；
（3）设直线l方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∵S_△PCQ=

1

2

|CP|•|CQ|sinC=2sinC，
∴△PCQ面积最大，即为sinC最大，即sinC=1，
∴∠C=90°，
∴△PCQ为等腰直角三角形，
∴|PQ|=2

2

，
∴圆心C到直线l的距离d=

2

=

|3k-4-k|

k2+1

，
解得：k=1或k=7，
则直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，是一道多知识点的综合题．