Question

记min{p，q}=

p，p≤q q．p＞q

．
（1）若函数f(x)=min{

x

，

2

3

(x-1)}，求f（x）表达式
（2）求f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}=3|x-p1|，对所有实数x成立的充分必要条件（用p₁，p₂表示）；
（3）若f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}，且f（a）=f（b）（a，bp₁，p₂为实数，且a＜bp₁，p₂∈（a，b））求f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）．

Answer 1

分析：（1）根据新定义，可知函数是取两个函数值中较小者，由此确定函数是分段函数；
（2）由f（x）的定义可知，f(x)=3|x-p1|这等价于3|x-p1|≤2•3|x-p2|即 3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2对所有实数x均成立，从而等价于3|p1-p2|≤2，故可求充分必要条件    
（3）根据函数是分段函数，分两种情况：1°|p₁-p₂|≤log₃2，则图象关于直线x=p₁对称．易得减区间为[a，p₁]，增区间为[p₁，b]，从而可求单调增区间的长度和；2°|p₁-p₂|＞log₃2．当p₁-p₂＞log₃2时．f₁（x）=

3x-p1，x∈[p1，b] 3p1-x，x∈[a，p1]

，f₂（x）=

3x-p2+log32，x∈[p2，b] 3p 2-x+log32，x∈[a，p2]

从而可求单调增区间的长度和；p₂-p₁＞log₃2时，同理可求．

解答：解：（1）f（x）=

x    x ≤ 2 3 (x-1) 2 3 (x-1)    x ＞ 2 3 (x-1)

=

x   ，x∈[4，+∞)

&

2

3

(x-1)

& &x∈[0，4)

5分
（2）由f（x）的定义可知，f(x)=3|x-p1|这等价于3|x-p1|≤2•3|x-p2|（对所有实数x）
即 3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2对所有实数x均成立．（*）                  8分
由于|x-p₁|-|x-p₂|≤|（x-p₁）-（x-p₂）|=|p₁-p₂|（x∈R）的最大值为|p₁-p₂|，
故（*）等价于3|p1-p2|≤2，即|p₁-p₂|≤log₃2，这就是所求的充分必要条件      11分
（3）1°如果|p₁-p₂|≤log₃2，则的图象关于直线x=p₁对称．因为f（a）=f（b），
所以区间[a，b]关于直线x=p₁对称．因为减区间为[a，p₁]，增区间为[p₁，b]，
所以单调增区间的长度和为

b-a

2

14分
2°如果|p₁-p₂|＞log₃2．
（1）当p₁-p₂＞log₃2时．f₁（x）=

3x-p1，x∈[p1，b] 3p1-x，x∈[a，p1]

，f₂（x）=

3x-p2+log32，x∈[p2，b] 3p 2-x+log32，x∈[a，p2]

当x∈[p₁，b]，

f1(x)

f2(x)

=3p2-p1-log32＜30=1，因为f₁（x）＞0，f₂（x）＞0，所以f₁（x）＜f₂（x），
故f（x）=f₁（x）=3x-p1，当x∈[a，p₂]，

f1(x)

f2(x)

=3p1-p2-log32＞30=1，因为f₁（x）＞0，f₂（x）＞0，
所以f₁（x）＞f₂（x）故f（x）=f₂（x）=3p2-x+log32
因为f（a）=f（b），所以3b-p1=3p2-a+log32，即a+b=p₁+p₂+log₃2
当x∈[p₂，p₁]时，令f₁（x）=f₂（x），则3p1-x=3x-p2+log32，所以x=

p1+p2-log32

2

，
当x∈[p₂，

p1+p2-log32

2

]时，f₁（x）≥f₂（x），所以f（x）=f₂（x）=3x-p2+log32x∈[

p1+p2-log32

2

，p1]时，f₁（x）≤f₂（x），所以f（x）=f₁（x）=3p1-xf（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和b-p₁+

p1+p2-log32

2

-p2
=b-

p1+p2+log32

2

=b-

a+b

2

=

b-a

2

16分
（2）当p₂-p₁＞log₃2时．类似可求得：f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和b-p₂+

p1+p2+log32

2

-p1=b-

p1+p2-log32

2

=

b-a

2

综上得f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为

b-a

2

18分．

点评：本题以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，表示一个分段函数，综合性，难度大．