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已知数列{an}满足:,且对任意a1=1,n∈N*,有an+an+1+(-1)n+1an•an+1=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:当n>1时,数学公式≤a1+a2+…+an<1;
(3)设bn={a1a2…an},函数fn(x)=1+b1x+b2x2+…+bnx2n,n∈N*,证明你对任意的n∈N*,函数fn(x)无零点.

解:(1)因为a1=1,又因为an+an+1+(-1)n+1an•an+1=0.an≠0,

所以是以为首项.-1为公差的等差数列.

所以
(2)因为k∈N*
所以

=<1
≤a1+a2+…+a2k<a1+a2+…+a2k+1<1
所以当n>1时,≤a1+a2+…+an<1.
(3)因为bn=|a1a2…an|=,所以fn(x)=1+x+x2+…+x2n
①当n=1时,函数f1(x)=1+x+=,所以函数无零点,结论成立.
②假设n=k时结论成立,即fk(x)=1+x+x2+…+x2k无零点.
因为x≥0时,fk(x)>0.而fk(x)的图象是连续不断的曲线,所以对任意x∈Rfk(x)>0恒成立.
当n=k+1时,因为fk+1(x)=1+x+x2+…+x2k+2
f′k+1(x)=1+x+x2+…+x2k+1
gk(x)=1+x+x2+…+x2k+1
∴g′k(x)=1+x+x2+…+x2k=fk(x)>0,
即gk(x)是增函数,
注意到x<-(2k+1)时t=1,2,3,…2k+1,
所以gk(x)=1+x+x2+…+x2k+1
=(1+x)+++…+<0
当x≥0时,gk(x)>0而gk(x)是增函数,所以gk(x)有且只有一个零点,记此零点为x0且x0≠0,
则当x∈(-∞,x0)时
gk(x)<gk(x0)=0,即f′k+1(x)<0,当x∈(x0,+∞)时
gk(x)>gk(x0)=0,即f′k+1(x)>0,fk+1(x)在x∈(-∞,x0)单调递减,在x∈(x0,+∞)单调递增,
所以对任意的x∈R,fk+1(x)>fk+1(x0)=gk(x0)+=>0,从而fk+1(x)无零点,
即当n=k+1时,结论成立.
根据①②,可知对任意的n∈N*,函数fn(x)无零点.
分析:(1)通过an+an+1+(-1)n+1an•an+1=0,移项后两边同除(-1)n+1an•an+1,构造新数列,然后求数列{an}的通项公式;
(2)利用,构造数列,通过数列求和,推出当n>1时,≤a1+a2+…+an<1;
(3)通过bn=|a1a2…an|求出bn表达式,化简函数fn(x)=1+b1x+b2x2+…+bnx2n,n∈N*,利用数学归纳法证明对任意的n∈N*,函数fn(x)无零点.证明n=k+1时,构造函数g(x)通过圆的导数判断函数的单调性,利用函数与方程的根说明方程没有零点.
点评:本题难度比较大,不仅考查数列的通项公式的求法,裂项法证明不等式,数学归纳法的应用,函数的零点的判断方法,导数的应用,考查计算能力,转化思想等思想方法.
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2
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3
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