Question

在三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）

Answer 1

分析：（1）要求恰有一件不合格的概率，我们根据P=P（A•B•

.

C

）+P（A•

.

B

•C）+P（

.

A

•B•C），根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解．
（2）我们可以根据至少有两件不合格的概率公式P=P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）+P（

.

A

•

.

B

•

.

C

），根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解．也可以从对立事件出发根据（1）的结论，利用P=1-P（A•B•C）+P（A•B•

.

C

）+P（A•

.

B

•C）+P（

.

A

•B•C）进行求解．

解答：解：设三种产品各抽取一件，
抽到合格产品的事件分别为A、B和C．
（Ⅰ）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95．
P(

.

A

)=0.10，P(

.

B

)=P(

.

C

)=0.05．
因为事件A，B，C相互独立，
恰有一件不合格的概率为
P（A•B•

.

C

）+P（A•

.

B

•C）+P（

.

A

•B•C）
=P（A）•P（B）•P（

.

C

）+P（A）•P（

.

B

）•P（C）+P（

.

A

）•P（B）•P（C）
=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95=0.176
答：恰有一件不合格的概率为0.176；
（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为
P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）+P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）
=0.90×0.05²+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05²
=0.012．
答：至少有两件不合格的概率为0.012．
解法二：三件产品都合格的概率为
P（A•B•C）=P（A）•P（B）•P（C）
=0.90×0.95²
=0.812．
由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，
所以至少有两件不合格的概率为
1-P（A•B•C）+0.176
=1-（0.812+0.176）
=0.012．
答：至少有两件不合格的概率为0.012．

点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．