Question

已知抛物线方程为y²=4x，过Q（2，0）作直线l．
①若l与x轴不垂直，交抛物线于A、B两点，是否存在x轴上一定点E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由？
②若L与X轴垂直，抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点，则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值，试证之．

Answer 1

【答案】分析：①对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在x轴上一定点E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ，再利用设l的方程为：y=k（x-2），，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用斜率公式即可求得m值，从而解决问题．
②设P（x，y）在抛物线上，由抛物线的对称性，不妨设y＞0，写出切线方程，求出以QN为直径的圆的圆心坐标，最后计算出以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值即可．
解答：解：①设l的方程为：y=k（x-2），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由消去得：，，y₁y₂=-8（2分）
若∠AEQ=∠BEQ，则k_AE+k_BC=0（3分）
即：（4分）⇒y₁x₂+y₂x₁-m（y₁+y₂）=0⇒-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0⇒m=-2（6分）
故存在m=-2，使得∠AEQ=∠BEQ（7分）
②设P（x，y）在抛物线上，由抛物线的对称性，不妨设y＞0，则过P点的切线斜率，切线方程为：，且（9分）
令，∴
令，∴（10分）
则以QN为直径的圆的圆心坐标为，半径（11分）
∴=
∴（13分）
点评：本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．注意①的处理存在性问题的一般方法，首先假设存在，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．