精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,侧棱与底面所成角为
π3
,且侧面ABB1A1垂直于底面.
(1)判断B1C与C1A是否垂直,并证明你的结论;
(2)求四棱锥B-ACC1A1的体积.
分析:(1)判断知,B1C与C1A垂直,可在平面BA1内,过B1作B1D⊥AB于D,证明B1C⊥平面ABC1,再由线面垂直的定义得出线线垂直;
(2)由图形知,VB-ACC1A1=2VB-A1AC=2VA1-ABC,变换棱锥的底与高后,求出它的体积即可;
解答:解:(1)B1C⊥C1A证明如下:
在平面BA1内,过B1作B1D⊥AB于D,
∵侧面BA1⊥平面ABC,
∴B1D⊥平面ABC,∠B1BA是BB1与平面ABC所成的角,
∴∠B1BA=60°,连接BC1,∵BB1CC1是菱形,
∴BC1⊥B1C,CD⊥平面A1B,B1D⊥AB,
∴B1C⊥AB,
∴B1C⊥平面ABC1
∴B1C⊥C1A.
(2)解:由题意及图,VB-ACC1A1=2VB-A1AC=2VA1-ABC=2×
1
3
×
3
4
×4×
3
=2

答:四棱锥B-ACC1A1的体积为2
点评:本题考查直线与平面所成角的定义,线面垂直的判定定理,线面垂直的定义,解题的关键是证明B1C⊥平面ABC1,由线面垂直证明线线垂直是立体几何中证明线线垂直常用的方法,第二小题中,变换棱锥的高与底,是求体积时常用的技巧,其特征是变换后,棱锥的底与高易求
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:单元双测 同步达标活页试卷 高二数学(下A) 人教版 题型:044

如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1与底面ABC垂直,∠ABC=,BC=2,AC=,且AA1⊥AlC,AA1=A1C.求:

(1)

侧棱AA1与底面ABC所成角的大小

(2)

侧面AA1B1B与底面ABC所成二面角的大小

(3)

顶点C到侧面AA1B1B的距离

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,侧棱与底面所成角为数学公式,且侧面ABB1A1垂直于底面.
(1)判断B1C与C1A是否垂直,并证明你的结论;
(2)求四棱锥B-ACC1A1的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2008年上海市上海中学高三3月综合练习数学试卷1(文理合卷)(解析版) 题型:解答题

如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,侧棱与底面所成角为,且侧面ABB1A1垂直于底面.
(1)判断B1C与C1A是否垂直,并证明你的结论;
(2)求四棱锥B-ACC1A1的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010年上海市上海中学高三数学综合练习试卷(1)(解析版) 题型:解答题

如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,侧棱与底面所成角为,且侧面ABB1A1垂直于底面.
(1)判断B1C与C1A是否垂直,并证明你的结论;
(2)求四棱锥B-ACC1A1的体积.

查看答案和解析>>

同步练习册答案