Question

9．已知函数$f（x）=cos（2x-\frac{π}{6}）+sin2x$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求$f（\frac{A}{2}）$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角差的余弦公式展开，利用辅助角公式即可求得f（x），根据周期公式，即可求得函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦定理，求得B=$\frac{π}{3}$，则0＜A＜$\frac{2π}{3}$，根据正弦函数的性质即可求得$f（\frac{A}{2}）$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=cos（2x-\frac{π}{6}）+sin2x$=cos2xcos$\frac{π}{6}$+sin2xsin$\frac{π}{6}$+sin2x，
=$\frac{3}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x，
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
则f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（Ⅱ）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
由（2a-c）cosB=bcosC，则（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，则2sinAcosB=sin（B+C），
由sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
由0＜B＜π，则B=$\frac{π}{3}$，
$f（\frac{A}{2}）$=$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
由0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
则$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，则$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$，
∴f（A）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查两角和差的余弦公式，考查正弦函数的图象及性质，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．