【题目】在极坐标系中,曲线的方程为
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,曲线
的参数方程为
,(
为参数)
(1)求曲线的参数方程和曲线
的普通方程;
(2)求曲线上的点到曲线
的距离的取值范围.
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【题目】如图, 面
,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得
,若存在,求出
的值,若不存在,说明理由.
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【题目】唐三彩,中国古代陶瓷烧制工艺的珍品,它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点,在中国文化中占有重要的历史地位,在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史,制作工艺十分复杂,它的制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立。某陶瓷厂准备仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工艺品,根据该厂全面治污后的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为,
,
,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为
,
,
.
(1)求第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率;
(2)经过前后两次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为,求随机变量
的数学期望.
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【题目】已知函数是定义在,
,
上的奇函数,当
,
时,
(
).
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)设,
,
,求证:当
时,
恒成立;
(Ⅲ)是否存在实数,使得当
,
时,
的最小值是
?如果存在,
求出实数的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】(本题满分14分)如图,已知椭圆:
,其左右焦点为
及
,过点
的直线交椭圆
于
两点,线段
的中点为
,
的中垂线与
轴和
轴分别交于
两点,且
、
、
构成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)记△的面积为
,△
(
为原点)的面积为
.试问:是否存在直线
,使得
?说明理由.
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【题目】某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按生产现状,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处罚,第一个月罚3万元,以后每月增加2万元.如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方面也可以大大降低原料成本.据测算,添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入是生产时间
个月的二次函数
(
是常数),且前3个月的累计生产净收入可达309万,从第6个月开始,每个月的生产净收入都与第5个月相同.同时,该厂不但不受处罚,而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.
(1)求前8个月的累计生产净收入的值;
(2)问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.
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【题目】己知四棱锥中,
平面
,底面
是菱形,且
.
,
、
的中点分别为
,
.
(Ⅰ)求证.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)在线段上是否存在一点
,使得
平行于平面
?若存在,指出
在
上的位置并给予证明,若不存在,请说明理由.
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