Question

在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．

（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；
（3）求点G到平面BCE的距离．

Answer 1

（1）点F应是线段CE的中点（2）（3）

试题分析：解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），
B（2，0，1），，
（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，
∴，取平面ACD的法向量，
则，∴BF∥平面ACD；    
（2）设平面BCE的法向量为，则，且，
由，，
∴，不妨设，则，即，
∴所求角θ满足，∴；    
（3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴，
由（2）平面BCE的法向量为，∴所求距离．                      
解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接FH，则FH∥=，
∴FH∥=AB，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，
由BF?平面ACD内，AH?平面ACD，∴BF∥平面ACD；
（2）由已知条件可知△ACD即为△BCE在平面ACD上的射影，
设所求的二面角的大小为θ，则，
易求得BC=BE=，CE=，∴，
而，∴，而，∴；        
（3）连接BG、CG、EG，得三棱锥C﹣BGE，由ED⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，又CG⊥AD，∴CG⊥平面ABED，设G点到平面BCE的距离为h，则V_C﹣BGE=V_G﹣BCE即，由，，，
∴即为点G到平面BCE的距离．
点评：当已知条件中出现了从同一点出发的三线两两垂直或可以平移为三线两两垂直时，常利用空间向量求解，只需写出各点坐标代入相应公式即可