Question

已知抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M、N，P为线段MN的中点．求|AM|+|AN|的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,作图题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意作图，则A（a，0），从而得到圆的方程，与抛物线y²=4ax（a＞0）联立可得x₁+x₂=-（2a-8）=8-2a，再由抛物线的定义求值．

解答： 解：如右图，A（a，0）；
则圆的方程为（x-a-4）²+y²=16，
与抛物线y²=4ax（a＞0）联立可得，
（x-a-4）²+4ax=16，
化简得，x²+（2a-8）x+a²+8a=0；
故x₁+x₂=-（2a-8）=8-2a；
故|AM|+|AN|=x₁+a+x₂+a
=8．

点评：本题考查了学生的作图能力及圆锥曲线的定义的应用，属于中档题．