精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
若xi>0(i=1,2,3,…,n),观察下列不等式:(x1+x2)(
1
x1
+
1
x2
)≥4,(x1+x2+x3)(
1
x1
+
1
x2
1
x3
)≥9,…,

请你猜测(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)满足的不等式,并用数学归纳法加以证明.
分析:根据不等式:(x1+x2)(
1
x1
+
1
x2
)≥4,(x1+x2+x3)(
1
x1
+
1
x2
1
x3
)≥9,…,可以猜测(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2(n≥2),再用数学归纳法证明.
解答:解:满足的不等式为(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2(n≥2),
证明如下:
(1)当n=2时,猜想成立;
(2)假设当n=k时,猜想成立,即(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥k2
那么n=k+1时,(x1+x2+…+xk+1)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xk
)≥k2+2k+1=(k+1)2
则当n=k+1时猜想也成立,根据(1)(2)可得猜想对任意的n∈N,n≥2都成立.
点评:本题以已知不等式为载体,考查类比推理,考查数学归纳法,关键是第二步,同时应注意利用归纳假设.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

若xi>0(i=1,2,3,…,n),观察下列不等式:(x1+x2)(数学公式)≥4,(x1+x2+x3)(数学公式)≥9,…,

请你猜测(x1+x2+…+xn)(数学公式)满足的不等式,并用数学归纳法加以证明.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:期末题 题型:解答题

若xi>0(i=1,2,3,…,n),观察下列不等式:
≥9,…,
请你猜测(x1+x2+…+xn 满足的不等式,并用数学归纳法加以证明。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年河南省三门峡市灵宝一中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

若xi>0(i=1,2,3,…,n),观察下列不等式:(x1+x2)()≥4,(x1+x2+x3)()≥9,…,

请你猜测(x1+x2+…+xn)()满足的不等式,并用数学归纳法加以证明.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2009-2010学年浙江省杭州市学军中学高二(下)期中数学试卷(实验班)(解析版) 题型:解答题

若xi>0(i=1,2,3,…,n),观察下列不等式:(x1+x2)()≥4,(x1+x2+x3)()≥9,…,

请你猜测(x1+x2+…+xn)()满足的不等式,并用数学归纳法加以证明.

查看答案和解析>>

同步练习册答案