Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$\sqrt{3}$（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=4，且△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$，则此时△ABC的形状为等腰三角形．

Answer 1

分析 由$\sqrt{3}$（acosB+bcosA）=2csinC及正弦定理可得$\sqrt{3}$（sinAcosB+sinBcosA）=2sin²C，结合sinC＞0，化简可得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由a+b=4，利用基本不等式可得ab≤4，（当且仅当a=b=2成立），由△ABC的面积的最大值S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，即可解得a=b=2，从而得解△ABC的形状为等腰三角形．

解答 解：∵$\sqrt{3}$（acosB+bcosA）=2csinC，
∴$\sqrt{3}$（sinAcosB+sinBcosA）=2sin²C，
∴$\sqrt{3}$sinC=2sin²C，且sinC＞0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a+b=4，可得：4$≥2\sqrt{ab}$，解得：ab≤4，（当且仅当a=b=2成立）
∵△ABC的面积的最大值S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴a=b=2，
∴则此时△ABC的形状为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．