Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0），定点M（0，5），直线l：y=

p

2

与y轴交于点F，O为原点，若以OM为直径的圆恰好过l与抛物线C的交点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点M作直线交抛物线C于A，B两点，连AF，BF延长交抛物线分别于A′，B′，求证：抛物线C分别过A′，B′两点的切线的交点Q在一条定直线上运动．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用定点M（0，5），直线l：y=

p

2

与y轴交于点F，O为原点，以OM为直径的圆恰好过l与抛物线C的交点，建立方程，求出p，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求出过点A′的切线方程、过点B′的切线的方程，可得y_Q=

4

x1x2

，直线y=kx+5代入抛物线方程，利用韦达定理可得结论．

解答： （Ⅰ）解：∵定点M（0，5），直线l：y=

p

2

与y轴交于点F，O为原点，以OM为直径的圆恰好过l与抛物线C的交点，
∴p2=

p

2

(5-

p

2

)，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为x²=4y；
（Ⅱ）证明：由题意，直线AB的斜率一定存在，设方程为y=kx+5，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₀，y₀），则
∵A，F，A′共线，
∴x₁（y₀-1）+x₀（1-y₁）=0，（x₀-x₁）（x₀x₁+4）=0，
∵x₀≠x₁，∴x₀=-

4

x1

，
∴A′（-

4

x1

，

4

x12

），
同理B′（-

4

x2

，

4

x22

）．
∵y′=

1

2

x，
∴过点A′的切线的斜率为-

2

x1

，切线方程为y=-

2

x1

x-

4

x12

，
同理过点B′的切线的方程为y=-

2

x2

x-

4

x22

，
联立得y_Q=

4

x1x2

．
由

y=kx+5 x2=4y

可得x²-4kx-20=0，
∴x₁x₂=-20，
∴y_Q=

4

x1x2

=-

1

5

，即Q在一条定直线y=-

1

5

上运动．

点评：本题考查抛物线的方程，考查抛物线的切线方程，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．