Question

15．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
（1）sin²13°+cos²17°-sin 13°cos 17°；
（2）sin²15°+cos²15°-sin 15°cos 15°；
（3）sin²18°+cos²12°-sin 18°cos 12°；
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos 48°；
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos 55°．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

分析 方法一：（1）选择②式，由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解．（2）发现推广三角恒等式为sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$，由三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．
方法二：（1）同方法一．（2）发现推广三角恒等式为sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．由降幂公式，三角函数中的恒等变换应用展开即可证明

解答 解：（1）选择（2）式，计算如下：
sin²15°+cos²15°-sin 15°cos 15°=1-$\frac{1}{2}$sin 30°=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（2）三角恒等式为sin²α+cos²（30°-α）-sin α•cos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．
证明如下：
法一：sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）
=sin²α+（cos 30°cos α+sin 30°sin α）²-sin α（cos 30°•cos α+sin 30°sin α）
=sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin αcos α+$\frac{1}{4}$sin²α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin αcos α-$\frac{1}{2}$sin²α
=$\frac{3}{4}$sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α=$\frac{3}{4}$．
法二：sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）
=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos（60°-2α）}{2}$-sin α•（cos 30°cos α+sin 30°sin α）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos 2α+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin αcos α-$\frac{1}{2}$sin²α
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos 2α+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$cos 2α+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin 2α-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin 2α-$\frac{1}{4}$（1-cos 2α）
=1-$\frac{1}{4}$cos 2α-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$cos 2α=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，归纳推理，属于基本知识的考查．