Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC丄BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．已知AB=

6

，∠APB=∠ADB=60°．
（Ⅰ）证明：平面ABC丄平面PBD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅲ）求二面角P-AD-B的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知中PH是四棱锥的高，AC⊥BD，结合线面直线的判定定理我们可得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理，我们可得平面ABC丄平面PBD；
（Ⅱ）由已知中ABCD的为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=

6

，我们求出底面ABCD的面积，及棱锥的高PH的值，代入棱锥体积公式即可得到四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅲ）过H作HE⊥AD于E，连接PE，则∠PEH即为二面角P-AD-B的平面角，解三角形PEH，即可求出二面角P-AD-B的正切值．

解答：解：（Ⅰ）证明：如图所示：
∵PH是四棱锥的高
∴AC⊥PH，
又∵AC⊥BD，PH∩BD=H
∴AC⊥平面PBD
又∵AC?平面PAC
∴平面ABC丄平面PBD；
（Ⅱ）解：∵ABCD的为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=

6

∴HA=HB=

3

又∵∠APB=∠ADB=60°．
∴PA=PB=

6

，HD=HC=1
∴PH=

PA2-HA2

=

3

∴SABCD=

1

2

•AC•BD=2+

3

∴V_P-ABCD=

1

3

×(2+

3

)×

3

=

3+2 3

3

（Ⅲ）解：过H作HE⊥AD于E，连接PE
∵PH是四棱锥的高
∴PE⊥AD
∴∠PEH即为二面角P-AD-B的平面角
在直角三角形AHD中，AH=

3

，DH=1
∴AD=2
∴HE=

3

2

∴tan∠PEH=

PH

EH

=2
故二面角P-AD-B的正切值为2

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，二面角的平面角及求法，其中熟练掌握面面垂直的判定定理是（I）的关键，求也底面面积及高是求（II）的关键，而找到二面角的平面角是解（III）的关键．