Question

已知f(x)=lg

a-x

1+x

是奇函数．
（1）求a的值；     
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）f(x)=lg

a-x

1+x

是奇函数，由奇函数的定义建立方程求a；
（2）由（1）f(x)=lg

1-x

1+x

，运用分离常数法对其形式进行变化，再依据所得的形式进行判断单调性即可

解答：解：（1）∵f(x)=lg

a-x

1+x

是奇函数
∴f（-x）+f（x）=0
∴lg

a+x

1-x

+lg

a-x

1+x

=0
∴

a2-x2

1-x2

=1
∴a²=1，得a=±1
又a=-1时，解析式无意义，故a=1
（2）由（1）f(x)=lg

1-x

1+x

=lg(

2

1+x

-1)
当x∈（-1，1）时，1+x∈（0，2），由于1+x在x∈（-1，1）递增，故

2

1+x

-1递减，
由此知函数f（x）在（-1，1）上是减函数

点评：本题考查对数函数的单调性，解题的关键根据奇函数的性质建立方程求出参数，得到函数的解析式再用分离常数法判断出内层函数的单调性，再由复合函数单调性的判断方法判断出函数在（-1，1）上的单调性，本题题干简单，涉及到的函数中的考点挺多，综合性强，钥匙时要注意根据题设的条件选择解题方法，分离常数法是判断分子分母都是齐次的函数的单调性时常用的技巧，其特征是把分母变为常数，方便判断函数单调性，此法是一判断方法，切记．