【题目】如图,四棱锥中,是矩形,平面,,,四棱锥外接球的球心为,点是棱上的一个动点.给出如下命题:①直线与直线是异面直线;②与一定不垂直;③三棱锥的体积为定值;④的最小值为.其中正确命题的序号是______________.(将你认为正确的命题序号都填上)
【答案】①③④
【解析】
由题意画出图形,由异面直线的概念判断①;利用线面垂直的判定与性质判断②;找出球心,由棱锥底面积与高为定值判断③;设,列出关于的函数式,结合其几何意义求出最小值判断④.
解:对于①,直线经过平面内的点,而直线在平面内不过,直线与直线是异面直线,故①正确;
对于②,当与重合时,,因为平面,平面,所以,又,平面,平面,平面,则垂直,故②错误;
对于③,由题意知,四棱锥的外接球的球心为是的中点,则△的面积为定值,且到平面的距离为定值,三棱锥的体积为定值,故③正确;
对于④,设,则,.
由其几何意义,即平面内动点与两定点,距离和的最小值知,其最小值为,故④正确.
故答案为:①③④.
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【题目】如图,在直角三棱柱中,、分别为、的中点,,.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)若直线和平面所成角的正弦值等于,求二面角的余弦值.
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【题目】已知椭圆: 过点,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2), 是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于, 两点, 交椭圆于另一个点,求面积取得最大值时直线的方程.
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【题目】某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.
方案一:每满100元减20元;
方案二:满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球(逐个有放回地抽取),所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)
红球个数 | 3 | 2 | 1 | 0 |
实际付款 | 7折 | 8折 | 9折 | 原价 |
(1)该商场某顾客购物金额超过100元,若该顾客选择方案二,求该顾客获得7折或8折优惠的概率;
(2)若某顾客购物金额为180元,选择哪种方案更划算?
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(2)设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标.
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