Question

设关于x的不等式lg（|x+3|+|x-7|）＞a
（1）当a=1时，解这个不等式；
（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R．

Answer 1

【答案】分析：（1）转化成绝对值不等式，令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．
（2）解决恒成立问题，可将问题转化为研究函数f（x）的最小值大于a即可．
解答：解：（1）由题意得：|x+3|+|x-7|＞10，
当x≥7时x+x-4＞10得：x＞7（3分）
当-3＜x＜7时，x+4-x＞10不成立（5分）
当x≤-3时-x+4-x＞10得：x＜-3（7分）
解得：x＜-3或x＞7（6分）
（2）设t=|x+3|+|x-7|，
则由对数定义及绝对值的几何意义知t≥10，
因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，
∵|x+3|+|x-7|的最小值为10，
∴lg（|x+3|+|x-7|）的最小值为1（8分）
要使不等式的解集为R，则须a＜1（10分）
点评：本题考查了对数的运算性质，以及绝对值不等式的解法，所谓零点分段法，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．