Question

已知函数f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x．
（1）若函数y=f（x）的图象关于直线x=a（a＞0）对称，求a的最小值；
（2）若存在x0∈[0，

5

12

π]，使mf（x₀）-2=0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将f（x）化成2sin(2x+

π

3

)，最后根据正弦函数的对称性求出对称轴，求出a的最小值即可；
（2）根据x0∈[0，

5

12

π]的范围求出2x₀+

π

3

的范围，再结合正弦函数单调性求出函数的值域，从而可求出m的范围．

解答：解：（1）因为f(x)=(2sinx+

3

cosx)cosx-

3

sin2x=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)
所以函数f（x）的图象的对称轴由下式确定：2x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z
从而x=

k

2

π+

π

12

，k∈Z．由题可知当k=0时，a有最小值

π

12

；
（2）当x0∈[0，

5

12

π]时，2x0+

π

3

∈[

π

3

，

7

6

π]，
从而sin(2x0+

π

3

)∈[-

1

2

，1]，则f（x₀）∈[-1，2]
由mf（x₀）-2=0可知：m≥1或m≤-2．

点评：本题主要考查了正弦函数的对称性，以及正弦函数的值域，属于基础题．