Question

20．△ABC中，已知sin²B+sin²C+sinBsinC=sin²A．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求2$\sqrt{3}$cos²$\frac{C}{2}$-sin（$\frac{4π}{3}$-B）的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理化简得b²+c²-a²=-bc，利用余弦定理解得cosA=-$\frac{1}{2}$，结合A的范围即可解得A的值．
（Ⅱ）根据三角函数恒等变换的应用化简所求为$\sqrt{3}+2$sin（C+$\frac{π}{3}$），根据C的范围，即可利用正弦函数的图象和性质得解．

解答 解：（Ⅰ）由已知sin²B+sin²C+sinBsinC=sin²，（2分）
得b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，--------------------------------------（4分）
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{2π}{3}$．--------------------------------------（6分）
（Ⅱ）∵A=$\frac{2π}{3}$，∴B=$\frac{π}{3}$-C，0$＜C＜\frac{π}{3}$．
2$\sqrt{3}$cos²$\frac{C}{2}$-sin（$\frac{4π}{3}$-B）=2$\sqrt{3}×\frac{1+cosC}{2}$+sin（$\frac{π}{3}-B$）=$\sqrt{3}+2$sin（C+$\frac{π}{3}$）．-------（10分）
∵0$＜C＜\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$＜C+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴当C+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，2$\sqrt{3}$cos²$\frac{C}{2}$-sin（$\frac{4π}{3}$-B）取最大值$\sqrt{3}+2$，解得B=C=$\frac{π}{6}$．---（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．