Question

【题目】已知函数 有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 记点M（x1 ， f（x1）），N（x2 ， f（x2））．
（Ⅰ）求直线MN的方程；
（Ⅱ）证明：线段MN与曲线y=f（x）有且只有一个异于M、N的公共点．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令f'（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3， 且f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，3）上单调递减，
∴x1=﹣1， ，x2=3，f（3）=﹣9，即 ，N（3，﹣9），
∴直线MN的方程为 ，化简得 ．
（Ⅱ）设g（x）=f（x） = ，
则线段MN与曲线y=f（x）的公共点即g（x）在区间[﹣1，3]上的零点．
令 =0，解得 ， ，
且g（x）在区间 ， 上单调递增，
在区间( 上单调递减．
∴由 可得 =1＞g（2）=﹣1 ，
即 ， ，∴g（x）在区间 上有且仅有有一个零点．
，有0=g（﹣1）＜g（x），∴g（x）在 上无零点；
当 时，有g（x）＜g（3）=0，∴g（x）在 上无零点；
综上，g（x）在区间（﹣1，3）上有且仅有一个零点．
所以线段MN与曲线y=f（x）有且只有一个异于M、N的公共点
【解析】（Ⅰ）求出导函数令f'（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3，判断函数的单调性求出MN，然后求解直线方程．（Ⅱ）设g（x）=f（x） ，推出线段MN与曲线y=f（x）的公共点即g（x）在区间[﹣1，3]上的零点．令 =0，通过判断函数的极值判断函数的单调性，推出结果即可．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．