Question

空间不共面的四点A、B、C、D依次到平面α的距离之比是2：2：2：3，则满足条件的平面α的个数为

8

个．

Answer 1

分析：根据几何体的顶点在平面α两侧还是同侧两种情况讨论，而在平面α两侧时又分两类进行讨论，即平面α一侧有一点，另一侧有三点与平面一侧有两点，另一侧有两点两类，再把所有结果综合在一起得到答案．

解答：解：因为空间四点不共面，所以四点构成一个三棱锥，
当三棱锥的四个顶点均在平面α的同侧时，α只有一个；
当三棱锥的四个顶点分别处在平面α的两侧时，由两种情况：
①当平面α一侧有一点，另一侧有三点时，使截面与三棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离之比为2：3，这样的平面α有4个；
②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，
举例说明：A、B与C、D分别在平面α的两侧时，取CA、CB的中点P、Q，在DA、DB上取点S、R，使

DS

AS

=

DR

BR

=

3

2

，则确定平面PQRS就是α，
则满足条件的平面共有3个．
所以由以上可得满足条件的平面共有8个．
故答案为8．

点评：本题主要考查空间中点与平面的位置关系的问题，由于四点不共面所以把四个点抽象为三棱锥的四个顶点，再结合几何体的特征进行分类讨论得到答案，考查了学生的分类讨论思想和空间想象能力．