Question

3．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为矩形，平面CDD₁C₁⊥平面ABCD，E，F分别是CD，AB的中点，求证：
（1）AD⊥CD；
（2）EF∥平面ADD₁A₁．

Answer 1

分析 （1）利用平面与平面垂直的性质定理即可证明．
（2）利用已知条件证明四边形AFEG是平行四边形，从而根据EF∥AG即可证明EF∥平面ADD₁A₁．

解答 证明：（1）由底面ABCD为矩形可得AD⊥CD
又∵平面C₁D₁DC⊥平面ABCD，
平面C₁D₁DC∩平面ABCD平面=CD，
∴AD⊥平面C₁D₁DC．                                     
又∵CD₁?面C₁D₁DC，
∴AD⊥CD₁．                        
（2）设DD₁中点为G，连结EG，AG．
∵E，G分别为CD₁，DD₁的中点，
∴EG∥CD，EG=$\frac{1}{2}$CD．
在矩形ABCD中，
∵F是AB的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$CD且AF∥CD，
∴EG∥AF，且EG=AF．
∴四边形AFEG是平行四边形，
∴EF∥AG．
又∵AG?平面ADD₁A₁，EF?平面ADD₁A₁，
∴EF∥平面ADD₁A₁．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理，以及平面与平面垂直的性质定理的应用．属于中档题．