Question

9．已知两圆的方程为x²+y²+6x+8y=0，x²+y²-6x-2y-26=0，判断两圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两点间的距离；若不相交，说明理由．

Answer 1

分析 通过圆心距与半径的关系确定圆的方程；两圆方程相减得到公共弦的直线方程，再由点到直线的距离公式求公共弦长．

解答 解：由已知圆的方程为x²+y²+6x+8y=0可写为（x+3）²+（y+4）²=25，圆心坐标A（-3，-4），半径为5．
x²+y²-6x-2y-26=0可写为（x-3）²+（y-1）²=36，
∴两圆心之间的距离为：$\sqrt{{（3+3）}^{2}+{（1+4）}^{2}}$=$\sqrt{61}$，满足6-5＜$\sqrt{61}$＜5+6，
即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差．
∴两圆相交．
⊙A的方程与⊙B的方程左、右两边分别相减得12x+10y+26=0，
即6x+5y+13=0为过两圆交点的直线的方程．
设两交点分别为C、D，则CD：6x+5y+13=0．
点A到直线CD的距离为d=$\frac{|-18-20+13|}{\sqrt{61}}$=$\frac{25}{\sqrt{61}}$．
由勾股定理，得|CD|=2$\sqrt{{5}^{2}-\frac{{25}^{2}}{61}}$=$\frac{60\sqrt{61}}{61}$．

点评 本题考查了两圆位置关系的确定以及点到直线的距离公式的运用；两圆相交时，公共弦所在的直线是两圆方程相减得到的方程．