Question

11．已知正三角形内切圆的半径是高的$\frac{1}{3}$，把这个结论推广到正四面体，类似的结论正确的是（　　）

• A． 正四面体的内切球的半径是高的$\frac{1}{2}$
• B． 正四面体的内切球的半径是高的$\frac{1}{3}$
• C． 正四面体的内切球的半径是高的$\frac{1}{4}$
• D． 正四面体的内切球的半径是高的$\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．

解答 解：如图示：

球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．
把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×$\frac{1}{3}$S×r=$\frac{1}{3}$×S×h，r=$\frac{1}{4}$h，
（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）
故选：C．

点评 本题考查类比推理，解题的关键是明确类比的方法，明确正三角形面积、正四面体体积的计算方法．