Question

【题目】如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（Ⅰ）证明：EM⊥BF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵EA⊥平面ABC，BM平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴ ，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，
∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．
而BF平面MBF，∴EM⊥BF．
（Ⅱ）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的
二面角的平面角．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴ ，
由 ，得GC=2．
∵ ，
又∵△GCH∽△GBM，∴ ，则 ．
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，有线面垂直得到结果．（Ⅱ）做出辅助线，延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH，做出∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的性质是解答本题的根本，需要知道垂直于同一个平面的两条直线平行．