【题目】已知全集
(1)若,求实数q的取值范围;
(2)若中有四个元素,求
和q的值.
【答案】(1);
(2),
={1,3,4,5}
【解析】试题分析:(1)若 =U,则A=
,根据一元二次方程根的关系即可求q的取值范围;
(2)若中有四个元素,则等价为A为单元素集合,然后进行求解即可.
试题解析:
(1)∵A=U,
∴A=,即方程x2﹣5qx+4=0无解,或方程x2﹣5qx+4=0的解不在U中.
∴△=25q2﹣16<0,∴<q<
,
若方程x2﹣5qx+4=0的解不在U中,
此时满足判别式△=25q2﹣16≥0,即p≥或p≤﹣
,
由12﹣5q1+4≠0得q≠1;
由22﹣5q2+4≠0得q≠;
同理,由3、4、5不是方程的根,依次可得q≠,q≠1,q≠
;
综上可得所求范围是{q|q∈R,且q≠,q≠1,q≠
}.
(2)∵A中有四个元素,∴A为单元素集合,则△=25q2﹣16=0,
即q=±,
当A={1}时,q=1,不满足条件.;
当A={2}时,q=,满足条件.;
当A={3}时,q=,不满足条件.;
当A={4}时,q=1,不满足条件.;
当A={5}时,q=,不满足条件.,
∴q=,此时A={2},
对应的UA={1,3,4,5}.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=
,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.
(1)求a4的值;
(2)证明:为等比数列;
(3)求数列{an}的通项公式.
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【题目】已知二次函数的图像经过坐标原点,其到函数为
,数列的前
项和为
,点
均在函数
的图像上.
(I)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,
是数列
的前
n项和,求使得
<
对所有都成立的最小正整数m.
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【题目】已知定义在区间上的函数
,其中常数
.
(1)若函数分别在区间
上单调,试求
的取值范围;
(2)当时,方程
有四个不相等的实根
.
①证明: ;
②是否存在实数,使得函数
在区间
单调,且
的取值范围为
,若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们由小大到的顺序排成一个数列.
(Ⅰ)求是这个数列的第几项;
(Ⅱ)求这个数列的第96项;
(Ⅲ)求这个数列的所有项和.
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【题目】已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
(1)求圆C的方程;
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】(1)已知椭圆方程为,点
.
i.若关于原点对称的两点记直线
的斜率分别为
,试计算
的值;
ii.若关于原点对称的两点记直线
的斜率分别为
,试计算
的值;
(2)根据上题结论探究:若是椭圆
上关于原点对称的两点,点
是椭圆上任意一点,且直线
的斜率都存在,并分别记为
,试猜想
的值,并加以证明.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数),现以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)在曲线上是否存在一点
,使点
到直线
的距离最小?若存在,求出距离的最小值及点
的直角坐标;若不存在,请说明理由.
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