Question

已知矩阵m=

3 -2 2 -2

，α=

-1 4

，试计算：M¹⁰α．

Answer 1

考点：矩阵与向量乘法的意义

专题：矩阵和变换

分析：先求出矩阵M的特征多项式，再根据对应的方程求出矩阵的特征值和特征向量，然后将向量α分解成两个特征向量的线性和，将矩阵与向量的积转化为矩阵与特征向量的积，从而转化为数乘问题，得到本题结论．

解答： 解：∵矩阵M=

3 -2 2 -2

，
∴矩阵M的特征多项式为：
f（λ）=

.

λ-3 2 -2 λ+2

.

=λ²-λ+2．
令f（λ）=0，
得到：λ₁=-1，λ₂=2．
当λ₁=-1时，对应的一个特征向量为

α1

=

1 2

，
当λ₂=2时，对应的一个特征向量为

α2

=

2 1

，
∵

α

=

-1 4

=3

α1

-2

α2

，
∴M¹⁰•

α

=M¹⁰•(3

α1

-2

α2

)
=3×（-1）¹⁰

1 2

-2×2¹⁰

1 2

=

-4093 -2042

．

点评：本题考查了利用矩阵的特征值和特征向量求矩阵与向量的积，本题难度适中，属于中档题．