Question

探究f(x)=x+

1

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并确定相应的x的值，类表如下：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…	17 4	10 3	5 2	2	5 2	10 3	17 4	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列的问题：
（1）若x₁x₂=1，则f（x₁）

 

f（x₂）（请 用“＞”、“＜”或“=”填上）；若函数f(x)=x+

1

x

，(x＞0)在区间（0，1）上单调递减，则在区间

 

上单调递增．
（2）当x=

 

时，f(x)=x+

1

x

，(x＞0)的最小值为

 

．
（3）证明函数f(x)=x+

1

x

在区间（1，+∞）上为单调增函数．

Answer 1

分析：（1）由f（x）以及x₁x₂=1，计算f（x₁）与f（x₂），得出结论；观察表中y值随x值变化的特点，得出结论；
（2）由表中y值随x值变化的特点，得出x=1时，f（x）的最小值为2；
（3）用单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上的增减性．

解答：解：（1）∵f（x）=x+

1

x

，当x₁x₂=1时，x₁=

1

x2

，∴f（x₁）=x₁+

1

x1

=

1

x2

+x₂=f（x₂），∴应填：=；
观察表中y值随x值变化的特点，当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴应填：（1，+∞）；
  （2）由表中y值随x值变化的特点，知当x=1时，f(x)=x+

1

x

，(x＞0)的最小值为2；∴应填：1，2；
（3）设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）；
∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
∴x1-x2＜0，1-

1

x1x2

＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了根据函数值表判定函数的单调性与最值问题，也考查了利用函数单调性定义证明单调性问题，是基础题．