Question

【题目】已知数列{an}满足a1=9，an+1=an+2n+5；数列{bn}满足b1= ，bn+1= bn（n≥1）．
（1）求an ， bn；
（2）记数列{ }的前n项和为Sn ， 证明： ≤Sn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=an+2n+5得an+1﹣an=2n+5，

则a2﹣a1=7，

a3﹣a2=9，

…

an﹣1﹣an﹣2=2（n﹣2）+5，

an﹣an﹣1=2（n﹣1）+5=2n+3

等式两边同时相加得

an﹣a1= ×（n﹣1）=（5+n）（n﹣1）=n2+4n﹣5，

则an=a1+n2+4n﹣5=n2+4n﹣5+9=n2+4n+4，

所以数列{an}的通项公式为 ．

又∵ ， ，

∴ ，∴ ， ， ，…， ，

将上述（n﹣1）个式子相乘，得 ，即 ．

（2）解：∵ ．

∵ = ，

，∴

【解析】（1）利用数列的递推关系，利用累加法和累积法进行求解即可．（2）求出数列{ }的通项公式，利用裂项法进行求解，结合不等式的性质进行证明即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．