Question

以下命题正确的是

（1）（2）（3）

（1）把函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

个单位得到y=3sin2x的图象．
（2）若等差数列的前n项和为S_n则三点（(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共线
（3）若f（x）=cos⁴x-sin⁴x则f′(

π

12

)=-1
（4）若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d则“a+b+c=0”是f（x）有极值点的充要条件．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的平移变换规律（左加右减）即可判断其正误；
（2）等差数列中

Sn

n

=a₁+（n-1）•

d

2

，由此可判断三点（(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共线；
（3）f（x）=cos⁴x-sin⁴x=cos2x，f′（x）=-2sin2x，从而可判断其正误；
（4）f（x）=ax³+bx²+cx+d有极值⇒f′（x）=3ax²+2bx+c=0有解，不能推出a+b+c=0，从而可否定（4）．

解答：解：（1）y=3sin（2x+

π

3

）

图象向右平移 π 6 个单位

y=3sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=3sin2x，故（1）正确；
（2）∵{a_n}为等差数列，设其公差为d，依题意得，

Sn

n

=a₁+（n-1）•

d

2

，即

Sn

n

为n的线性函数，故（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

）三点共线，故（2）正确；
（3）∵f（x）=cos⁴x-sin⁴x=cos²x-sin²x=cos2x，
∴f′（x）=-2sin2x，
∴f′（

π

12

）=-2sin（2×

π

12

）=-1，故（3）正确；
对于（4），f（x）=ax³+bx²+cx+d有极值⇒f′（x）=3ax²+2bx+c=0有解，不能推出a+b+c=0，故（4）错误．
故命题正确的是（1），（2），（3）．
故答案为：（1），（2），（3）．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查等差数列的性质，命题的真假判断与应用，考查必要条件、充分条件与充要条件的判断及导数的运算与应用，综合性强，属于中档题．