Question

如图：在直三棱柱ABC-DEF中，AB=2，AC=AD=2

3

，AB⊥AC，
（1）证明：AB⊥DC，
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用直棱柱的性质和线面垂直的判定和性质定理即可证明；
（2）利用线面垂直的性质、正方形的性质、三垂线定理、二面角的定义即可得出．

解答：解：（1）在直三棱柱ABC-DEF中，则AD⊥AB，
又∵AB⊥AC，AD∩AC=A．
∴AB⊥平面ACFD，
∴AB⊥CD．
（2）由（1）可得：四边形ACFD为正方形，
连接对角线AF、CD相较于点M，则AM⊥CD．
又∵AB⊥平面ACFD，根据三垂线定理可得CD⊥BM．
∴∠AMB是二面角A-DC-B的平面角．
∵AM=

1

2

×2

3

×

2

=

6

，∴BM=

AB2+AM2

=

22+( 6 )2

=

10

．．
∴在Rt△ABM中，cos∠AMB=

AM

BM

=

6

10

=

60

10

．
故二面角A-DC-B的余弦值为

60

10

．

点评：熟练掌握棱柱的性质和线面垂直的判定和性质定理、正方形的性质、三垂线定理、二面角的定义是解题的关键．