Question

【题目】已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C与直线l1：的一个交点为，且（为坐标原点）.

(Ⅰ)求抛物线C的方程；

(II)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积.

Answer 1

【答案】(I) y2＝8x；(II)24

【解析】

（I）确定抛物线C与直线l1：y＝﹣x的一个交点的坐标，代入抛物线方程，即可求抛物线C方程；

（II）设l2的方程为x＝y+m，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合OA⊥OB，求出m的值，从而可求△FAB的面积．

解：(I)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，

∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.

(II)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.

由得y2－8y－8m＝0，

Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.

y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，

∴x1x2＝＝m2.

由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，

∴m＝8或m＝0(舍)，

∴直线l2：x＝y＋8，M(8，0).

故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|

＝3＝24.