Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=

3

x，两条准线间的距离为1，F₁，F₂是双曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求k_PM•k_PN的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，双曲线焦点在x轴上，且其一条渐近线方程为y=

3

x，两条准线间的距离为1，可得方程组：

b a = 3 2a2 c =1 a2+b2=c2.

解得a²=1，b²=3，代入可得答案；
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），由双曲线的对称性，可得N的坐标，设P（x_P，y_P），结合题意，又由M在双曲线上，可得x02-

y02

3

=1，将其坐标代入k_PM•k_PN中，计算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）依题意，双曲线焦点在x轴上，
有：

b a = 3 2a2 c =1 a2+b2=c2.

解得a²=1，b²=3．
∴双曲线方程为x2-

y2

3

=1．
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），由双曲线的对称性，可得N（-x₀，-y₀）．
设P（x_P，y_P），
则kPM•kPN=

yP-y0

xP-x0

•

yP+y0

xP+x0

=

yP2-y02

xP2-x02

，
又x02-

y02

3

=1，
∴y₀²=3x₀²-3．
同理y_P²=3x_P²-3，
∴kPM•kPN=

3xP2-3-3x02+3

xP2-x02

=3．

点评：本题考查双曲线与直线相交的性质，此类题目一般计算量较大，注意计算的准确性，其次要尽可能的简化运算，以降低运算量．