【题目】已知.
(1)若函数的图象在点
处的切线平行于直线
,求
的值;
(2)讨论函数在定义域上的单调性;
(3)若函数在
上的最小值为
,求
的值.
【答案】(1)(2)
时,在
为增函数;
时,减区间为
,增区间为
(3)
【解析】试题分析:(1)由导数的几何意义可求得切线的斜率,从而得到关于a的方程,求得其值;(2)确定函数的定义域,根据f′(x)>0,可得f(x)在定义域上的单调性;(3)求导函数,分类讨论,确定函数f(x)在[1,e]上的单调性,利用f(x)在[1,e]上的最小值为,即可求a的值
试题解析:(1)
由题意可知,故
(2)
当时,因为
,
,故
在
为增函数;
当时,由
;由
,
所以增区间为,减区间为
,
综上所述,当时,
在
为增函数;当
时,
的减区间为
,增区间为
.
(3)由(2)可知,当时,函数
在
上单调递增,
故有,所以
不合题意,舍去.
当时,
的减区间为
,增区间为
.
若,则函数
在
上单调递减,
则不合题意,舍去.
若时,函数
在
上单调递增,
,所以
不合题意,舍去.
若时,
,
解得,
综上所述,.
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【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆
(
)的左焦点为
,离心率为
,过点
且垂直于长轴的弦长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点分别是椭圆的左、右顶点,若过点
的直线与椭圆相交于不同两点
、
.
①求证:;
②求面积的最大值.
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【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)函数的图象与
的图象无公共点,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数,使得对任意的
,都有函数
的图象在
的图象的下方?若存在,请求出整数
的最大值;若不存在,请说理由.
(参考数据:,
,
).
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【题目】在平面直角坐标系中,圆
的参数方程为
,(t为参数),在以原点O为极点,
轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
,
两点的极坐标分别为.
(1)求圆的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)点是圆
上任一点,求
面积的最小值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(其中
为参数),曲线
,以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的极坐标方程;
(2)若射线与曲线
,
分别交于
两点,求
.
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【题目】【2018湖南(长郡中学、株洲市第二中学)、江西(九江一中)等十四校高三第一次联考】已知函数(其中
且
为常数,
为自然对数的底数,
).
(Ⅰ)若函数的极值点只有一个,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)当时,若
(其中
)恒成立,求
的最小值
的最大值.
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【题目】【2018山西太原市高三3月模拟】已知椭圆的左、右顶点分别为
,右焦点为
,点
在椭圆
上.
(I)求椭圆方程;
(II)若直线与椭圆
交于
两点,已知直线
与
相交于点
,证明:点
在定直线上,并求出定直线的方程.
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【题目】某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品,然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.
(Ⅰ)若小店一天购进16份,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量
(单位:份,
)的函数解析式;
(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量(单位:份),整理得下表:
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)小店一天购进16份这种食品,表示当天的利润(单位:元),求
的分布列及数学期望;
(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据,你认为一天应购进食品16份还是17份?
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