【题目】如图,设椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 点D在椭圆上.DF1⊥F1F2 , =2 ,△DF1F2的面积为 .
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.
【答案】
(1)解:设F1(﹣c,0),F2(c,0),其中c2=a2﹣b2,
由 =2 ,得|DF1|= = c,
从而 = |DF1||F1F2|= c2= ,故c=1.
从而|DF1|= ,由DF1⊥F1F2,得 = + = ,
因此|DF2|= ,
所以2a=|DF1|+|DF2|=2 ,故a= ,b2=a2﹣c2=1,
因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1;
(2)解:设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,
y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,由圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,
由(1)知F1(﹣1,0),F2(1,0),所以 =(x1+1,y1), =(﹣x1﹣1,y1),再由F1P1⊥F2P2,得﹣ + =0,
由椭圆方程得1﹣ = ,即3 +4x1=0,解得x1=﹣ 或x1=0.
当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在;
当x1=﹣ 时,过P1,P2,分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2,又|CP1|=|CP2|,
故圆C的半径|CP1|= |P1P2|= |x1|=
【解析】(1)设F1(﹣c,0),F2(c,0),依题意,可求得c=1,易求得|DF1|= = ,|DF2|= ,从而可得2a=2 ,于是可求得椭圆的标准方程;(2)设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交,P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)是两个交点,依题意,利用圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1 , y1=y2 , |P1P2|=2|x1|,
由F1P1⊥F2P2 , 得x1=﹣ 或x1=0,分类讨论即可求得圆的半径.
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【题目】《九章算术》中,将底面是直角三角形,且侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示(网格纸上正方形的边长为1),则该“堑堵”的表面积为( )
A. 8 B. 16+8 C. 16+16 D. 24+16
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (α为参数)
(1)求曲线C的普通方程;
(2)在以O为极点,x正半轴为极轴的极坐标系中,直线l方程为 ρsin( ﹣θ)+1=0,已知直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.
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【题目】双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.
(1)若l的倾斜角为 , 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设 ,若l的斜率存在,且|AB|=4,求l的斜率.
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【题目】某班同学利用春节进行社会实践,对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图。
(一)人数统计表: (二)各年龄段人数频率分布直方图:
(Ⅰ)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图,并求出、、的值;
(Ⅱ)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动。若将这个人通过抽签分成甲、乙两组,每组的人数相同,求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率。
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【题目】已知,函数.
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)若关于的方程的解集中恰有一个元素,求的取值范围;
(Ⅲ)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的和不大于,求的取值范围.
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【题目】如图,三棱柱中,底面为正三角形, 底面,且, 是的中点.
(1)求证: 平面;
(2)求证:平面平面;
(3)在侧棱上是否存在一点,使得三棱锥的体积是?若存在,求出的长;若不存在,说明理由.
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【题目】已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率,虚轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线与双曲线相交于两点,( 均异于左、右顶点),且以为直径的圆过双曲线的左顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】已知标有1~20号的小球20个,若我们的目的是估计总体号码的平均值,即20个小球号码的平均值.试验者从中抽取4个小球,以这4个小球号码的平均值估计总体号码的平均值,按下面方法抽样(按小号到大号排序):
(1)以编号2为起点,系统抽样抽取4个球,则这4个球的编号的平均值为____.
(2)以编号3为起点,系统抽样抽取4个球,则这4个球的编号的平均值为____.
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