Question

已知数列{a_n}的前n项和为A_n，且对任意正整数n，都满足：ta_n-1=A_n，其中t＞1为实数．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n为杨辉三角第n行中所有数的和，即b_n=C_n+C_n¹+…+C_nⁿ，B_n为杨辉三角前n行中所有数的和，亦即为数列{b_n}的前n项和，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）涉及通项及前n项和，通常是再写一式，两式相减，进而可得相邻项之间的关系，从而利用数列为等比数列，可求数列{a_n}的通项公式；
（2）分别求出前n项和为A_n，B_n，再求极限，注意分类讨论．
解答：解：（1）由已知ta_n+1-1=A_n+1，ta_n-1=A_n，相减得ta_n+1-ta_n=a_n+1，由t-1＞0得，又ta₁-1=a₁，得，故数列{a_n}是一个以为首项，以为公比的等比数列．（4分）
从而n∈N^*；                   （6分）
（2），（7分）
又b_n=C_n+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ，故B_n=2（2ⁿ-1），（11分）
于是，
当，即t=2时，，
当，即t＞2时，，
当，即1＜t＜2时，不存在．（14分）
点评：本题的考点是数列的极限，主要考查等比数列的通项，考查数列的极限，关键是掌握涉及通项及前n项和，通常是再写一式，两式相减的方法．