Question

9．（1）已知x+x^-1=3（x＞0），求x${\;}^{\frac{3}{2}}$+x${\;}^{-\frac{3}{2}}$的值；
（2）已知log₄（3x-1）=log₄（x-1）+log₄（3+x），求实数x的值．

Answer 1

分析 （1）利用平方关系，求出${x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，利用立方和公式求出x${\;}^{\frac{3}{2}}$+x${\;}^{-\frac{3}{2}}$的值；
（2）利用对数的运算性质，即可求实数x的值．

解答 解：（1）∵$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$=x+x^-1+2=5，
∴${x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴x${\;}^{\frac{3}{2}}$+x${\;}^{-\frac{3}{2}}$=$\sqrt{5}•（3-1）$=2$\sqrt{5}$；
（2）∵log₄（3x-1）=log₄（x-1）+log₄（3+x），
∴log₄（3x-1）=log₄[（x-1）（3+x）]，
∴3x-1=（x-1）（3+x），x＞1，
∴x=2．

点评 本题考查指数幂的运算性质，考查对数的运算性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．