【题目】某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽4米,要求通行车辆限高5米,隧道全长1.5千米,隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示).
(1)若最大拱高为6米,则隧道设计的拱宽至少是多少米?(结果取整数)
(2)如何设计拱高和拱宽,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(结果取整数)
参考数据:,椭圆的面积公式为,其中,分别为椭圆的长半轴和短半轴长.
【答案】(1)此隧道设计的拱宽至少是22米(2)当拱高为7米、拱宽为18米时,土方工程量最小
【解析】
(1)建立直角坐标系,设椭圆方程为,根据对称性,将点代入椭圆方程,即可求解;
(2)由点在椭圆上或在椭圆内,得,利用基本不等式,即可求出椭圆的面积的最小值,根据体积公式,即可求解.
(1)建立直角坐标系如图所示,
则点在椭圆上,
将与点代入椭圆方程,得,
此时,
因此隧道设计的拱宽至少是22米.
(2)由椭圆方程,得,
因为,即,,
由于隧道长度为1.5千米,故隧道的土方工程量,
当取得最小值时,有且,得,,
此时,.
①若,此时,此时,
②若,此时,此时,
因为,故当拱高为7米、拱宽为18米时,土方工程量最小.
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【题目】某乐园按时段收费,收费标准为:每玩一次不超过小时收费10元,超过小时的部分每小时收费元(不足小时的部分按小时计算).现有甲、乙二人参与但都不超过小时,甲、乙二人在每个时段离场是等可能的。为吸引顾客,每个顾客可以参加一次抽奖活动。
(1) 用表示甲乙玩都不超过小时的付费情况,求甲、乙二人付费之和为44元的概率;
(2)抽奖活动的规则是:顾客通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数,并按如右所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该顾客中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求顾客中奖的概率.
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【题目】根据指令(,),机器人在平面上能完成下列动作,先原地旋转弧度(为正时,按逆时针方向旋转,为负时,按顺时针方向旋转),再朝其面对的方向沿直线行走距离r;
(1)现机器人在平面直角坐标系的坐标原点,且面对x轴正方向,试给机器人下一个指令,使其移动到点;
(2)机器人在完成该指令后,发现在点处有一小球,正向坐标原点作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人截住小球所需的指令?(结果用反三角函数表示)
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【题目】在四面体A-BCD中,有两条棱的长为,其余棱的长度都为1;
(1)若,且,求二面角A-BC-D的余弦值;
(2)求a的取值范围,使得这样的四面体是存在的;
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【题目】《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》已经政府常务会议审议通过,自2019年12月1日起施行.垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革,是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.所谓垃圾其实都是资源,当你放错了位置时它才是垃圾.某企业在市科研部门的支持下进行研究,把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品.已知该企业每周的加工处理量最少为75吨,最多为100吨.周加工处理成本y(元)与周加工处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为,且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为16元.
(Ⅰ)该企业每周加工处理量为多少吨时,才能使每吨产品的平均加工处理成本最低?
(Ⅱ)该企业每周能否获利?如果获利,求出利润的最大值;如果不获利,则需要市政府至少补贴多少元才能使该企业不亏损?
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【题目】已知双曲线的渐近线方程为,一个焦点为.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上的任意一点,分别作这两条渐近线的平行线与这两条渐近线得到四边形,证明四边形的面积是一个定值;
(3)设直线与在第一象限内与渐近线所围成的三角形绕着轴旋转一周所得几何体的体积.
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【题目】已知椭圆的方程为,圆与轴相切于点,与轴正半轴相交于、两点,且,如图1.
(1)求圆的方程;
(2)如图1,过点的直线与椭圆相交于、两点,求证:射线平分;
(3)如图2所示,点、是椭圆的两个顶点,且第三象限的动点在椭圆上,若直线与轴交于点,直线与轴交于点,试问:四边形的面积是否为定值?若是,请求出这个定值,若不是,请说明理由.
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