Question

在正项数列{a_n}中，a₁=6，点An(an，

an+1

)在抛物线y²=x+1上；在数列{b_n}中，数列前n项的和为S_n=n²+2n．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；n为奇数n为偶数
（Ⅱ）若f(n)=

an bn

，问是否存在k∈N^*，使f（k+27）=4f（k）成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将点An(an，

an+1

)代入y²=x+1中，得a_n+1=a_n+1，由此能求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(n)=

n+5，n为奇数 2n+1，n为偶数

，当k为偶数时，k+27为奇数，由此求出k=4；当k为奇数时，k+27为偶数，k=

35

2

（舍）．综上，存在唯一的k=4符合条件．

解答：解：（Ⅰ）将点An(an，

an+1

)代入y²=x+1中，
得a_n+1=a_n+1，
a_n+1-a_n=d=1，
a_n=a₁+（n-1）×1=n+5，
直线L：y=2x+1，
∴b_n=2n+1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(n)=

n+5，n为奇数 2n+1，n为偶数

，
当k为偶数时，k+27为奇数，
∵f（k+27）=4f（k）
k+27+5=4（2k+1），
∴k=4
当k为奇数时，k+27为偶数，
2（k+27）+1=4（k+5），
∴k=

35

2

（舍）．
综上，存在唯一的k=4符合条件．

点评：本题考查数列通项公式的求法和实数k是否存在的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．